Არითმეტიკული პროგრესიით

უძველესი დროიდან არსებობდა პრობლემები არითმეტიკული პროგრესის შესახებ. ისინი გამოჩნდნენ და მოითხოვდნენ გადაწყვეტილებებს, რადგან მათ ჰქონდათ პრაქტიკული საჭიროება.

ამგვარად, ძველი ეგვიპტის ერთ-ერთი პაპირუსი, რომელსაც აქვს მათემატიკური შინაარსი, Rhindus papyrus (XIX საუკუნე) - ასეთ ამოცანას შეიცავს: ათი ადამიანისთვის პურის მოშორება 10-ით, იმ პირობით, რომ თითოეული მათგანი ერთმანეთს მერვე ზომას წარმოადგენს.

ანტიკური ბერძნების მათემატიკურ ნაწარმოებებში არსებობს ეთიკური თეორიები, რომლებიც დაკავშირებულია არითმეტიკული პროგრესით. ამდენად, ალექსანდრიის (II საუკუნე ) გისკოლეტი , რომელიც ბევრ საინტერესო პრობლემას წარმოადგენდა, დაემატა მეთოთხმეტე წიგნი ევკლიდის "პრინციპებს", ჩამოყალიბდა იდეა: "არითმეტიკული პროგრესის მიხედვით, მეორე რიგის წევრთა ჯამი უფრო დიდია, ვიდრე 1- რიგით რიცხვი, რომელთა რიცხვი 1/2- ისაა .

ჩვენ დავუშვათ დადებითი რიცხვების თვითმიზანიანი სერია (ნულოვანია): 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., რომელსაც ეწოდება რიცხვითი თანმიმდევრობა.

თანმიმდევრობა. თანმიმდევრობის ნომრებს ეწოდება მისი წევრები და, როგორც წესი, აღინიშნება ასოებით, რომლებიც მიუთითებენ ამ წევრის სერიის ნომერზე (a1, a2, a3 ... წაიკითხა: "პირველი", "მე -2", "მე -3 წელი" და ა.შ. ).

თანმიმდევრობა შეიძლება იყოს უსასრულო ან სასრული.

და რა არის არითმეტიკული პროგრესიით? იგულისხმება რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელიც მიღებულია წინა ტერმინი (n), იგივე რიცხვით, რაც პროგრესის განსხვავებაა.

თუ დ <0, მაშინ ჩვენ გვაქვს პროგრესის შემცირება. თუ 0-ს, მაშინ ასეთი პროგრესია იზრდება.

არითმეტიკული პროგრესიით ითვლება ფინეთი, თუ მისი პირველი ვადები მხოლოდ რამდენიმეა გათვალისწინებული. წევრთა ძალიან დიდი რაოდენობით, ეს არის უსასრულო პროგრესი.

ნებისმიერი არითმეტიკული პროგრესიით მოცემულია შემდეგი ფორმულით:

= Kn + b, b და k მყოფი რიცხვები.

განცხადება, რომელიც საპირისპიროა აბსოლუტურად მართალია: თუ თანმიმდევრობითაა მოცემული მსგავსი ფორმულით, მაშინ სწორედ ეს არის არითმეტიკული პროგრესი, რომელსაც აქვს თვისებები:

1. პროგრესის თითოეულ წევრს წარმოადგენს წინა პერიოდის არითმეტიკული საშუალება და შემდგომი ერთი.
2. პირიქით, თუ მეორე, დაწყებული, ყოველი ტერმინი წინა პერიოდის არითმეტიკული საშუალებაა და მეორე, ანუ, თუ მდგომარეობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ ეს თანმიმდევრობა არითმეტიკული პროგრესია. ეს თანასწორობა ასევე პროგრესის ნიშანია, ამიტომ, როგორც წესი, მას პროგრესის დამახასიათებელი თვისება ეწოდება.
   ანალოგიურად, თეორია, რომელიც ასახავს ამ ქონების მართალია: თანმიმდევრობა არითმეტიკული პროგრესია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს თანასწორობა მართალია თანმიმდევრობის ნებისმიერი თვალსაზრისით, დაწყებული მე -2.

არითმეტიკული პროგრესის ნებისმიერი ოთხი რიცხვისათვის დამახასიათებელი თვისება შეიძლება გამოითვალოს ფორმულა + am = ak + al თუ n + m = k + l (m, n, k არის პროგრესიით რიცხვები).

არითმეტიკული პროგრესიით, ნებისმიერი აუცილებელი (N- ს) ტერმინი შეიძლება მოიძებნოს შემდეგი ფორმულით:

= A1 + d (n-1).

მაგალითად: არითმეტიკული პროგრესის პირველი ტერმინი (a1) მოცემულია და სამი ტოლია, ხოლო განსხვავება (d) ტოლია 4. იპოვეთ ამ პროგრესის ორმოცდახუთი წევრი. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

ფორმულა = ak + d (n - k) საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესის მე -5 პერიოდის განსაზღვრა მისი ნებისმიერი k- ის პირობით, თუ იგი ცნობილია.

არითმეტიკული პროგრესის პირობების ჯამი (ჩვენ ვგულისხმობთ სასრულ პროგრესის პირველივე პირობებს) გამოითვლება შემდეგნაირად:

Sn = (a1 + a) n / 2.

თუ განსხვავება არითმეტიკული პროგრესიითა და პირველი ვადის განმავლობაში ცნობილია, მაშინ სხვა ფორმულა კომბინირებულია:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

არითმეტიკული პროგრესის თანხა, რომელიც შეიცავს n პირობებს, გამოითვლება:

Sn = (a1 + a) * n / 2.

გათვლების ფორმულების არჩევანი დამოკიდებულია ამოცანების პირობებსა და საწყისი მონაცემების პირობებზე.

ნებისმიერი რიცხვის ბუნებრივი სერია, როგორიცაა 1,2,3, ..., n, ... არის არითმეტიკული პროგრესის მარტივი მაგალითი.

არითმეტიკული პროგრესის გარდა, არსებობს გეომეტრიული პროგრესი, რომელსაც გააჩნია საკუთარი თვისებები და მახასიათებლები.