Pendulum: ვადა და აჩქარება ფორმულა

მექანიკური სისტემა, რომელიც შედგება მატერიალური წერტილი (ორგანოს), რომელიც კიდია მსუბუქი inextensible ძაფი (მისი მასა უმნიშვნელო შედარებით წონა სხეულის) ერთიანი გრავიტაციული ველი, რომელსაც ეწოდება მათემატიკური ქანქარა (მეორე სახელი - oscillator). არსებობს სხვა სახის მოწყობილობები. იმის ნაცვლად, რომ ძაფი მსუბუქი rod შეიძლება იქნას გამოყენებული. Pendulum ნათლად გამოავლინოს არსი ბევრი საინტერესო მოვლენებზე. როდესაც მცირე ამპლიტუდის ვიბრაციას მისი მოძრაობის ეწოდება ჰარმონიული.

ზოგადი ინფორმაცია მექანიკური სისტემა

ფორმულა რხევის პერიოდის ქანქარა იყო გამოყვანილი ჰოლანდიელი მეცნიერი Huygens (1629-1695 gg.). ეს თანამედროვე ისააკ ნიუტონის ძალიან უყვარდა მექანიკური სისტემა. 1656 წელს მან შექმნა პირველი watch ერთად pendulum მექანიზმი. ისინი იზომება დრო უკიდურესი სიზუსტით იმ დროს. ეს გამოგონება იყო მნიშვნელოვანი ნაბიჯი განვითარებაში ფიზიკური ექსპერიმენტები და პრაქტიკული საქმიანობა.

იმ შემთხვევაში, თუ ქანქარა არის წონასწორული პოზიცია (დაკიდებული ვერტიკალურად), რომ ძალა სიმძიმის დაბალანსებული იქნება ნართის დაჭიმულობის ძალა. ბინა pendulum on არასამთავრობო stretchable ძაფებისაგან არის სისტემა, ორი გრადუსი თავისუფლების კომუნიკაცია. როდესაც შეცვლის მხოლოდ ერთი კომპონენტი იცვლება მახასიათებლები ყველა მისი ნაწილები. მაგალითად, თუ ძაფი შეიცვალა rod, მაშინ ეს მექანიკური სისტემა არის მხოლოდ 1 თავისუფლების ხარისხი. მაშ, რა თვისებები მათემატიკური ქანქარა? ამ მარტივი სისტემა, გავლენის ქვეშ პერიოდული perturbation, ქაოსი, როგორც ჩანს. იმ შემთხვევაში, როდესაც შეჩერების წერტილი არ მოძრაობს, და oscillates ქანქარიანი არის ახალი წონასწორობა პოზიცია. თუ სწრაფი ცვლილების და ქვემოთ ეს მექანიკური სისტემა ხდება სტაბილური პოზიცია "თავდაყირა". მას ასევე აქვს თავისი სახელი. მას უწოდებენ Kapitza Pendulum.

თვისებები pendulum

Pendulum აქვს ძალიან საინტერესო თვისებები. ყველა მათგანი მხარს უჭერს ცნობილი ფიზიკური კანონები. პერიოდი რხევის ერთი ქანქარა ნებისმიერი სხვა დამოკიდებულია სხვადასხვა გარემოებები, როგორიცაა ზომის და ფორმის სხეულის, შორის მანძილი წერტილი შეჩერება და სიმძიმის ცენტრი, წონის განაწილება მიმართებაში ამ ეტაპზე. ამიტომაც არის, რომ განმარტება სხეულის ჩამოკიდებული პერიოდი საკმაოდ რთული. ბევრად უფრო ადვილია გამოთვლა პერიოდში მარტივი pendulum, ფორმულა, რომელიც მოცემულია ქვემოთ. შედეგად აკვირდება ამ ნიმუშების შეიძლება მითითებული მსგავსი მექანიკური სისტემების:

• თუ, ხოლო შენარჩუნების იგივე სიგრძე Pendulum, შეჩერებული სხვადასხვა იტვირთება, პერიოდში oscillation მიიღოს იგივე, მიუხედავად იმისა, რომ მათი წონა განსხვავდება დიდად. შესაბამისად, პერიოდში ქანქარა არ არის დამოკიდებული წონის დატვირთვა.

• თუ სისტემა იწყება შემცირება იმ ქანქარა არ არის ძალიან დიდი, მაგრამ სხვადასხვა კუთხით, იგი მერყეობს ანალოგიურ პერიოდთან, მაგრამ სხვადასხვა amplitudes. მიუხედავად იმისა, რომ გადახრები ცენტრში ბალანსი არ არის ძალიან დიდი რყევების მათი ფორმა იქნება მჭიდრო საკმარისი ჰარმონიული. პერიოდი ასეთი ქანქარა არ არის დამოკიდებული ვიბრაციული ამპლიტუდა. ეს უძრავი ქონება მექანიკური სისტემა ეწოდება isochronism (ბერძნული "chronos" - დრო "Izosov" - თანაბარი).

პერიოდი მარტივი pendulum

ეს მაჩვენებელი წარმოადგენს ბუნებრივი პერიოდში oscillation. მიუხედავად იმისა, რომ კომპლექსური ფორმულირება, პროცესს თავად ძალიან მარტივია. თუ სიგრძე ნართის მათემატიკური ქანქარა L და გრავიტაციული აჩქარების g, ეს ღირებულება უდრის:

T = 2π√L / g

მცირე პერიოდში ბუნებრივი რხევების არანაირად არ არის დამოკიდებული მასობრივი Pendulum და რხევის ამპლიტუდა. ამ შემთხვევაში, როგორც მათემატიკური ქანქარა მოძრაობს შემცირებული სიგრძის.

რხევების მათემატიკური ქანქარა

მათემატიკური ქანქარა oscillates, რომელიც შეიძლება შეფასდეს, მარტივი დიფერენციალური განტოლება:

x + ω2 ცოდვა x = 0,

სადაც x (t) - უცნობი ფუნქცია (ეს კუთხე deflection ქვედა წონასწორული მდგომარეობა დროს t, გამოხატული რადიანი); ω - დადებითი მუდმივი რომელიც განისაზღვრება პარამეტრების ქანქარა (ω = √g / L, სადაც g - აჩქარება სიმძიმის და L - სიგრძე მარტივი pendulum (შეჩერება).

განტოლება პატარა რხევების ახლოს წონასწორობა პოზიცია (ჰარმონიული განტოლება) შემდეგი რედაქციით:

x + ω2 ცოდვა x = 0

ოსცილაციური შუამდგომლობა pendulum

Pendulum, რაც პატარა რხევების, მოძრავი sinusoid. მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება აკმაყოფილებს ყველა მოთხოვნას და პარამეტრების ასეთი მოძრაობა. რათა დადგინდეს გზა, თქვენ უნდა მითითებული სიჩქარე და კოორდინატები, რომელიც მოგვიანებით განისაზღვრება დამოუკიდებელი მუდმივების

x = ცოდვა (θ ₀ + ωt)

სადაც θ ₀ - საწყის ეტაპზე, A - ამპლიტუდა oscillation, ω - ციკლური სიხშირე განისაზღვრება განტოლებები მოძრაობაში.

Pendulum (ფორმულა დიდი ამპლიტუდის)

ეს მექანიკური სისტემა, შეასრულოს თავისი რხევების დიდი ამპლიტუდა, იგი ექვემდებარება უფრო რთული საგზაო მოძრაობის კანონები. ისინი გათვლილი ფორმულის თანახმად ასეთი ქანქარა:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

სადაც sn - sine Jacobi, რომელიც u <1 არის პერიოდული ფუნქცია და მცირე u ემთხვევა მარტივი ტრიგონომეტრიული sine. ღირებულება u განისაზღვრება შემდეგი გამოსახულებანი:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

სადაც ε = E / mL2 (mL2 - ენერგეტიკის ქანქარა).

განსაზღვრა არაწრფივი რხევის პერიოდის ქანქარა შემდეგი ფორმულით:

T = 2π / Ω,

სადაც Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - ელიფსური განუყოფელი, π - 3,14.

ქანქარა მოძრაობა separatrix

მან მოუწოდა separatrix ტრაექტორია დინამიური სისტემა, რომელშიც ორგანზომილებიანი ფაზაში სივრცეში. Pendulum მოძრაობს არასამთავრობო პერიოდულად. In უსასრულოდ შორს წერტილი დრო მცირდება უკიდურესი ზედა პოზიცია ნულოვანი სიჩქარე, და მერე ნელ-ნელა იძენს. მან საბოლოოდ შეწყვიტა, დაბრუნების თავდაპირველი პოზიცია.

თუ ამპლიტუდა რხევის ერთი ქანქარა უახლოვდება ნომერი pi, ნათქვამია, რომ მოძრაობის ფაზის ახლოს არის separatrix. ამ შემთხვევაში, მოქმედების მცირე პერიოდული მამოძრავებელი ძალა მექანიკური სისტემა ექსპონატები არეული ქცევა.

იმ შემთხვევაში, მარტივი pendulum საწყისი წონასწორობის პოზიცია კუთხე cp ხდება ტანგენციალური ძალის Fτ = -mg ცოდვა φ სიმძიმის. "მინუს" ნიშანი ნიშნავს, რომ tangential კომპონენტი მიმართულია საპირისპირო მიმართულებით მიმართულებით გადახრა Pendulum. როდესაც გულისხმობდა გავლით ქანქარა გადაადგილების x გასწვრივ წრიული რკალის რადიუსში L უდრის მისი კუთხის გადაადგილების φ = x / ლ მეორე კანონის Isaaka Nyutona, განკუთვნილია პროექტირება აჩქარების ვექტორი და ძალა, რათა სასურველი ღირებულება:

მგ τ = Fτ = -mg ცოდვა x / L

დაყრდნობით ეს თანაფარდობა, ნათელია, რომ ქანქარა არის არაწრფივი სისტემა, როგორც ძალა, რომელიც ტენდენცია დაუბრუნდეს თავის წონასწორობა პოზიცია, ყოველთვის არ არის პროპორციული გადაადგილების x, ცოდვა x / ლ

მხოლოდ მაშინ, როდესაც მათემატიკური ქანქარა ასრულებს პატარა ვიბრაცია, ეს არის ჰარმონიული oscillator. სხვა სიტყვებით, ეს ხდება მექანიკური სისტემა, რომელსაც შეუძლია ასრულებენ ჰარმონიული რხევების. დაახლოების მოქმედებს თითქმის კუთხეების 15-20 °. Pendulum დიდი amplitudes არ არის ჰარმონიული.

ნიუტონის კანონის მცირე რხევების ქანქარიანი

იმ შემთხვევაში, თუ მექანიკური სისტემა ასრულებს პატარა რხევების, მე -2 ნიუტონის კანონის ასე გამოიყურება:

მგ τ = Fτ = მ * g / L * x.

ამ დოკუმენტის საფუძველზე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ტანგენციალური აჩქარება მარტივი pendulum პროპორციულია მისი გადაადგილების ნიშანი "მინუსი". ეს არის მდგომარეობა, რომლის დროსაც სისტემა ხდება ჰარმონიული oscillator. მოდული პროპორციულობის ფაქტორი გადაადგილების და აჩქარება ტოლია მოედანზე კუთხური სიხშირე:

ω02 = გ / ლ; ω0 = √ გ / ლ

ეს ფორმულა ასახავს ბუნებრივი სიხშირე მცირე რხევების ამ ტიპის Pendulum. ამ დოკუმენტის საფუძველზე,

T = 2π / ω0 = 2π√ გ / ლ

გათვლები ეფუძნება კანონის კონსერვაციის ენერგია

Properties მოძრავი ქანქარა მოძრაობები შეიძლება შეფასდეს დახმარებით კანონის კონსერვაციის ენერგია. უნდა წარმოქმნილი გათვალისწინებით, რომ პოტენციური ენერგია ქანქარა გრავიტაციული ველი:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

სრული მექანიკური ენერგია უდრის კინეტიკური და მაქსიმალური პოტენციალი: Epmax = Ekmsx = E

მას შემდეგ, რაც თქვენ არ წერია კანონის კონსერვაციის ენერგეტიკის, აღების წარმოებული მარცხენა და მარჯვენა მხარეს განტოლება:

Ep + Ek = const

მას შემდეგ, რაც წარმოებული მუდმივები უდრის 0, მაშინ (Ep + Ek) '= 0. წარმოებული თანხა შეადგენს თანხა წარმოებულები:

Ep '= (მგ / L * x2 / 2)' = მგ / 2L * 2x * x '= მგ / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= მ / 2 * 2V * v '= mv * α,

ამიტომ:

მგ / L * xv + მვა = v (მგ / ლ * x + მ α) = 0.

საფუძველზე ბოლო ფორმულა, ჩვენ: α = - g / L * x.

პრაქტიკული გამოყენების მათემატიკური ქანქარა

აჩქარება თავისუფალი შემოდგომაზე მერყეობს განედისა, რადგან სიმჭიდროვე ქერქი მთელს პლანეტაზე არ არის იდენტური. სადაც ქანების მოხდეს უმაღლესი სიმჭიდროვე, ეს იქნება ოდნავ მაღალი. აჩქარება მათემატიკური ქანქარა ხშირად გამოიყენება exploration. In მისი დახმარებით ვეძებოთ სხვადასხვა მინერალებს. უბრალოდ დათვლის რხევების Pendulum, არ არის გამორიცხული, აღმოაჩინოს ნახშირის ან ore ნაწლავთა დედამიწაზე. ეს არის იმის გამო, რომ ამ რესურსების აქვს სიმჭიდროვე და წონა აღემატება ცრუობს ქვეშ ფხვიერი ქანების.

მათემატიკური ქანქარა გამოიყენება ასეთი გამოჩენილი მეცნიერები სოკრატეს, არისტოტელეს, პლატონი, პლუტარქე, არქიმედეს. ბევრი მათგანი მიიჩნევდა, რომ მექანიკური სისტემა შეიძლება გავლენა მოახდინოს ბედი და ცხოვრება. არქიმედეს გამოიყენება მათემატიკური ქანქარა მისი გათვლები. დღეს, ბევრი occultists და ფსიქიკის გამოიყენოს ეს მექანიკური სისტემა განსახორციელებლად მისი წინასწარმეტყველებები, ან უგზო-უკვლოდ დაკარგულთა.

ცნობილი ფრანგი ასტრონომი და მეცნიერი, Flammarion მათი კვლევა ასევე გამოიყენება მათემატიკური ქანქარა. მან განაცხადა, რომ მისი დახმარებით მან შეძლო პროგნოზირება აღმოჩენის ახალი პლანეტა, გაჩენის Tunguska meteorite და სხვა მნიშვნელოვანი მოვლენების შესახებ. მეორე მსოფლიო ომის გერმანიაში (ბერლინი) მუშაობდა სპეციალიზირებული ინსტიტუტი Pendulum. დღესდღეობით, ასეთი კვლევა არ არის ხელმისაწვდომი მიუნხენის ინსტიტუტის სიზმრები. მისი მუშაობა ქანქარა თანამშრომლებს ამ დაწესებულების ე.წ. "radiesteziey".