Ფურიეს გარდაქმნა. სწრაფი ფურიეს გარდაქმნა. დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა

ფურიეს გარდაქმნა - ტრანსფორმაციის, ასოცირების გარკვეული ფუნქცია რეალური ცვლადი. ეს ოპერაცია ხორციელდება ყოველ ჯერზე ჩვენ აღვიქვამთ სხვადასხვა ხმები. ყურის წარმოების ავტომატური "გათვლა", რომელიც უნდა შევასრულოთ ჩვენი ცნობიერება მხოლოდ მას შემდეგ ექსპერტიზის განყოფილებაში უმაღლესი მათემატიკის. სმენის ორგანოს ადამიანის ტრანსფორმაციის აშენებს, რომელიც ხმა (ჩვეულებრივი ვიბრაციული მოძრაობის ნაწილაკების ელასტიური საშუალო, რომელიც პროპაგანდას ტალღის ფორმა მყარი, თხევადი ან აირისებრი საშუალო) არის გათვალისწინებული მთელი რიგი ზედიზედ ღირებულებების მოცულობა დონეზე ტონა სხვადასხვა სიმაღლეებზე. ამის შემდეგ, ტვინის თურმე ინფორმაცია ყველა ნაცნობი ხმა.

მათემატიკის ფურიეს გარდაქმნა

კონვერტაციის ხმის ტალღების ან სხვა ვიბრაციის პროცესების მიერ (სინათლის გამოსხივება და ოკეანის ტალღა და ვარსკვლავური ან მზის ციკლები) შეიძლება შესრულდეს და საშუალებით მათემატიკური მეთოდები. ამგვარად, ამ ტექნიკას, ფუნქციები შეიძლება გაფართოვდა შემოღების ვიბრაციული პროცესების მითითებული sinusoidal კომპონენტები, ანუ wavy მოსახვევებში რომელიც წასვლა მინიმუმ მაქსიმუმ და მერე ისევ მინიმალური, როგორიცაა ზღვის ტალღას. ფურიეს გარდაქმნა - ტრანსფორმაციის ფუნქცია, რომელიც აღწერს ფაზაში ან ამპლიტუდა თითოეული sinusoid შესაბამისი კონკრეტული სიხშირე. ფაზა არის ამოსავალი წერტილი მრუდი და ამპლიტუდა - მისი სიმაღლე.

ფურიეს გარდაქმნა (მაგალითები ნაჩვენებია ფოტო) არის ძალიან ძლიერი ინსტრუმენტი, რომელიც გამოიყენება სხვადასხვა დარგში. ზოგიერთ შემთხვევაში, იგი გამოიყენება, როგორც გამოსავალი საკმაოდ რთული განტოლებები რომლებიც აღწერს დინამიური პროცესების გავლენის ქვეშ შუქი, სითბო და ელექტრო ენერგია. სხვა შემთხვევაში, ის საშუალებას იძლევა, განისაზღვროს რეგულარული კომპონენტების კომპლექსი waveforms, იმის გამო, რომ ეს შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ინტერპრეტაცია სხვადასხვა ექსპერიმენტული დაკვირვების ქიმიის, მედიცინისა და ასტრონომია.

ისტორიული ინფორმაცია

პირველი პირი, რომელიც გამოიყენება ამ მეთოდით იყო ფრანგი მათემატიკოსი Zhan Batist Fure. კონვერტაციის შემდგომ მის სახელს ატარებს, თავდაპირველად აღსაწერად სითბოს ჩატარება მექანიზმი. ფურიეს მისი მთელი ზრდასრული ცხოვრება ჩართული შესწავლა თვისებები სითბო. მან უზარმაზარი წვლილი შეიტანა მათემატიკური თეორიის განსაზღვრა ფესვები ალგებრულ განტოლებათა. ფურიეს იყო პროფესორი ანალიზის Ecole Polytechnique მდივნის ინსტიტუტის ეგვიპტოლოგია, იყო იმპერიული მომსახურება, რომელიც გამოიწვია აჟიოტაჟი დროს გზის მშენებლობა -დან Turin (მისი ხელმძღვანელობით დაიწია 80-ზე მეტი ათასი კვადრატული კილომეტრის malarial ჭაობები). თუმცა, ამ აქტივობის არ შეწყვიტოს მეცნიერი ჩართული მათემატიკური ანალიზი. 1802 წელს იგი მომდინარეობს განტოლება, რომელიც აღწერს გავრცელების სითბო მყარი. 1807 წელს მეცნიერმა აღმოაჩინა მეთოდი გადაჭრის ამ განტოლებას, რომელიც ცნობილი გახდა, როგორც "ფურიეს გარდაქმნა".

თბოგამტარობა ანალიზი

მკვლევარებმა გამოიყენება მათემატიკური მეთოდი აღწერს სითბოს ჩატარება მექანიზმი. მოსახერხებელი მაგალითად, სადაც არ სირთულეს გამოთვლები გამრავლებისათვის თერმული ენერგიის რკინის ბეჭედი, ერთი ნაწილი ჩაეფლო ცეცხლი. განახორციელოს ექსპერიმენტი ფურიეს red hot ნაწილი ბეჭედი და დამარხეს ჯარიმა ქვიშა. ამის შემდეგ, ტემპერატურის გაზომვა ხორციელდება საპირისპირო ნაწილს. თავდაპირველად, სითბოს განაწილება არარეგულარული: ნაწილი ბეჭედი - ცივი, და მეორე - ცხელი, შორის ზონებში შეიძლება დაიცვან მკვეთრი ტემპერატურის გრადიენტი. თუმცა, სითბოს განაწილება ლითონის ზედაპირზე, იგი უფრო ერთიანი. ასე რომ, მალე, ეს პროცესი სახით sine ტალღა. პირველი გრაფაში თანდათან იზრდება და მცირდება შეუფერხებლად, ზუსტად კანონები ვარიაციით კოსინუსი და sine ფუნქცია. Wave თანდათან გათანაბრებული და შედეგად ტემპერატურის ხდება ერთიანი მთელ ზედაპირზე ბეჭედი.

ავტორი ამ მეთოდით ვივარაუდოთ, რომ თავდაპირველი განაწილების საკმაოდ არარეგულარული შეიძლება დაიშალა შევიდა რიგი დაწყებითი sine ტალღა. თითოეული მათგანი აქვს თავისი ეტაპი (თავდაპირველი პოზიცია) და მისი მაქსიმალური ტემპერატურა. შესაბამისად, თითოეული ასეთი კომპონენტი ცვლილებები მინიმალური, მაქსიმალური და უკან სრული რევოლუცია გარშემო ბეჭედი რიცხვი ჯერ. კომპონენტი, რომელსაც ვადა რომელსაც ფუნდამენტური ჰარმონიული, და ღირებულება, ორი ან მეტი პერიოდის - მეორე და ასე შემდეგ. მაგალითად, მათემატიკური ფუნქცია, რომელიც ასახავს მაქსიმალური ტემპერატურა, ფაზაში და პოზიცია უწოდა ფურიეს გარდაქმნა განაწილების ფუნქცია. მეცნიერი მოუტანა ერთი კომპონენტი, რომ ძნელია მათემატიკური აღწერა, ადვილი გამოსაყენებელი ინსტრუმენტები - რიგები sine და cosine, თანხის გაცემის საწყის განაწილება.

არსი ანალიზი

გამოყენება ამ ანალიზის კონვერტაციის სითბოს გავრცელების მყარი ობიექტი, რომელსაც annular ფორმის, მათემატიკოსი დასაბუთებული, რომ იზრდება პერიოდს sinusoidal კომპონენტები გამოიწვიოს მისი სწრაფი ბიძგების. ეს ნათლად ჩანს, რომ მთავარი და მეორე harmonics. საბოლოო ტემპერატურა აღწევს ორჯერ მაქსიმალური და მინიმალური ერთ უღელტეხილზე, და პირველ - მხოლოდ ერთხელ. გამოდის, რომ დისტანციის სითბოს მეორე ჰარმონიული არის ნახევარი, რომ ძირითადი. გარდა ამისა, გრადიენტი მეორე ნახევარში ასევე იქნება steeper ვიდრე პირველი. აქედან გამომდინარე, მას შემდეგ, რაც უფრო ინტენსიური თერმული ნაკადად გადის ქვრივი მინიმალური მანძილი, მაშინ ეს იქნება ამორტიზებული ჰარმონიული ოთხჯერ უფრო სწრაფად, ვიდრე მთავარი, როგორც დროის ფუნქცია. მომდევნო პროცესი იქნება კიდევ უფრო სწრაფად. მათემატიკოსი სჯეროდა, რომ ეს მეთოდი საშუალებას იძლევა გამოვთვალოთ პროცესში თავდაპირველი განაწილების ტემპერატურის დროს.

Call თანამედროვენი

ფურიეს გარდაქმნა ალგორითმი გახდა გამოწვევა თეორიული საფუძვლების მათემატიკის დროს. ადრეული მეცხრამეტე საუკუნის ყველაზე გამოჩენილი მეცნიერები, მათ შორის Lagrange ლაპლასმა, Poisson, Legendre და Biot არ მიიღოს მისი მტკიცება, რომ ტემპერატურა თავდაპირველი განაწილების დაიშალა შევიდა კომპონენტები სახით ფუნდამენტური ტალღა და მაღალი სიხშირე. თუმცა, საქართველოს მეცნიერებათა აკადემიის ვერ იგნორირება მიღებული შედეგების მათემატიკოსი და დააჯილდოვა პრიზი თეორია სითბოს ჩატარება კანონების, ასევე ატარებს მისი შედარება ფიზიკური ექსპერიმენტი. In ფურიეს მიდგომა, მთავარი წინააღმდეგობა არის ის ფაქტი, რომ პერიოდული ფუნქცია წარმოდგენილია თანხა რამდენიმე sinusoidal ფუნქციები, რომლებიც უწყვეტი. ყოველივე ამის შემდეგ, ისინი აღწერს შეჭრის სწორი და curved ხაზები. თანამედროვე მეცნიერი არასდროს შეექმნა ისეთი სიტუაცია, როდესაც წყვეტილ ფუნქციების კომბინაცია უწყვეტი, როგორიცაა კვადრატული, წრფივი, sine და Exhibitor. იმ შემთხვევაში, მათემატიკოსი სწორედ მისი მტკიცებით, თანხა უსასრულო რიგი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები უნდა შეიზღუდოს ზუსტი სიჩქარე. მიუხედავად იმისა, რომ ასეთი პრეტენზია, როგორც ჩანს, აბსურდია. თუმცა, მიუხედავად იმისა, რომ ეჭვი ზოგიერთი მკვლევარი (მაგ Claude Navier, Sofi Zhermen) გაფართოვდა კვლევის საგანს წარმოადგენს და მათ out ანალიზი სითბოს განაწილება. მათემატიკის, იმავდროულად, მოსვენებას კითხვაზე, თუ თანხა რამდენიმე sinusoidal ფუნქციები მცირდება ზუსტი წარმომადგენლობა bursting.

200-წლიან ისტორიაში

ეს თეორია განვითარდა ბოლო ორი საუკუნის განმავლობაში, დღეს იგი საბოლოოდ ჩამოყალიბდა. მოცემული ანალიზის დახმარებით სივრცითი და დროითი ფუნქციები დაყოფილი sinusoidal კომპონენტი, რომელიც აქვს სიხშირე, ეტაპი და ამპლიტუდა. ეს კონვერტაციის მიღებული ორი სხვადასხვა მათემატიკური მეთოდები. პირველი მათგანი გამოიყენება იმ შემთხვევაში, როდესაც წყარო უწყვეტი ფუნქცია, და მეორე - იმ შემთხვევაში, სადაც იგი წარმოდგენილია გავურბივარ დისკრეტული ინდივიდუალური ცვლილებები. თუ გამოხატვის მიღებული ღირებულებები, რომელიც განისაზღვრება დისკრეტული ინტერვალით, შეიძლება დაიყოს რამდენიმე დისკრეტული sinusoidal სიხშირეზე გამონათქვამები - ყველაზე დაბალი და შემდეგ გაორმაგდა, სამჯერ და სხვ ზემოთ ფუნდამენტური. ეს თანხა ეწოდება ფურიეს სერია. თუ საწყის გამოხატვის ადგენს ღირებულება თითოეული რეალური რაოდენობა, შეიძლება ჩაიშალა შევიდა მრავალი sinusoidal ყველა შესაძლო სიხშირეზე. ეს ეწოდება ფურიეს განუყოფელი და გადაწყვეტილება გულისხმობს ტრანსფორმაციის ინტეგრალური ფუნქცია. მიუხედავად იმისა, რომ ხერხი ტრანსფორმაციის, თითოეული სიხშირე უნდა მიუთითოს ორი ნომერი: ამპლიტუდა და სიხშირე. ეს ღირებულებები გამოხატულია როგორც ერთი კომპლექსური რიცხვი. გამოხატვის კომპლექსური ანალიზის თეორია ერთად ფურიეს გარდაქმნა ასრულებს გათვლებით დაშვებული დიზაინის სხვადასხვა ელექტრო სქემები, ანალიზი მექანიკური ვიბრაცია, სასწავლო ტალღის გავრცელების მექანიზმი და სხვა.

ფურიეს გარდაქმნა დღეს

დღესდღეობით, შესწავლა ამ პროცესში ძირითადად boils ქვემოთ მოძიებაში ეფექტური მეთოდები გადასვლას ფუნქცია კონვერტირება უკან იბადება. ეს გამოსავალი ეწოდება პირდაპირი და შებრუნებული ფურიეს გარდაქმნა. რას ნიშნავს ეს? იმისათვის, რომ დადგინდეს განუყოფელი და მიიღოს პირდაპირი ფურიეს გარდაქმნა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მათემატიკური მეთოდები, მაგრამ შეგიძლიათ ანალიტიკური. მიუხედავად იმისა, რომ, როდესაც ისინი გამოიყენება პრაქტიკაში არსებობს გარკვეული სირთულეები, ყველაზე ინტეგრალები უკვე ნაპოვნი და შევიდა მათემატიკური სახელმძღვანელოების. მოცემული ანალიზის დახმარებით რიცხვითი მეთოდები შეიძლება იყოს გათვლილი გამონათქვამები, ფორმა, რომელიც ეფუძნება ექსპერიმენტული მონაცემები, ფუნქცია, რომლის ინტეგრალები მაგიდები აკლია, და ისინი ძნელად წარმოსადგენია ანალიტიკური ფორმა.

მარხვის კომპიუტერული საინჟინრო გათვლებით ასეთი გარდაქმნების ძალიან tedious, ისინი ითხოვენ სახელმძღვანელო აღსრულების დიდი რაოდენობით არითმეტიკული ოპერაციების, რომ დამოკიდებული რაოდენობა, რომელიც აღწერს ტალღა ფუნქცია. მოგვარების ხელშეწყობა დღეს, არსებობს სპეციალური პროგრამები, უფლება განახორციელონ ახალი ანალიტიკური მეთოდები. ასე რომ, 1965 წელს, Dzheyms კული და dzhon Tyuki ის პროგრამული უზრუნველყოფა, რომელიც ცნობილი გახდა, როგორც "სწრაფი ფურიეს Transform". ეს ზოგავს დროს გაანგარიშების რაოდენობის შემცირების გამრავლების ანალიზი მრუდი. "სწრაფი ფურიეს Transform" მეთოდი ეფუძნება გამყოფი მრუდი შევიდა დიდი რაოდენობით ერთიანი ნიმუშის ღირებულებებს. შესაბამისად, ნომერი გამრავლების მცირდება ნახევარი ამავე რაოდენობის შემცირების რაოდენობა.

გამოყენების ფურიეს გარდაქმნა

ეს პროცესი გამოიყენება სხვადასხვა სფეროებში: In ნომერი თეორია, ფიზიკის, სიგნალის დამუშავება, კომბინატორიკა, ალბათობის თეორია, კრიპტოგრაფიის, სტატისტიკა, ოკეანოგრაფიული, ოპტიკა, აკუსტიკა და სხვა geometries. მდიდარი შესაძლებლობები მისი გამოყენება ეფუძნება რაოდენობით სასარგებლო თვისებები, რომლებიც "თვისებები ფურიეს გარდაქმნა". მოდი, ვნახოთ, მათ.

1. კონვერტაციის ფუნქცია არის წრფივი ოპერატორი და შესაბამისი ნორმალიზაცია არის ერთიანი. ეს უძრავი ქონება ცნობილია, როგორც Parseval თეორემა, ან ზოგად შემთხვევაში, თეორემა Plansherelja ან Pontrjagin დუალიზმი.

2. კონვერტაციის შექცევადია. უფრო მეტიც, საპირისპირო შედეგი არსებითად მსგავსი ფორმის როგორც პირდაპირი მისამართით.

3. sinusoidal ძირითადი გამონათქვამების საკუთარი დიფერენცირებული ფუნქციები. ეს ნიშნავს, რომ ასეთი წარმომადგენლობა ცვლის წრფივი მუდმივი კოეფიციენტების ჩვეულებრივი ალგებრული.

4. მისი თქმით, "convolution" თეორემა, პროცესი ხდის რთული ოპერაცია ელემენტარული გამრავლება.

5. დისკრეტული ფურიეს Transform შეიძლება სწრაფად განკუთვნილია კომპიუტერის გამოყენებით "სწრაფი" მეთოდი.

ვარიაციები ფურიეს გარდაქმნა

1. ყველაზე ხშირად ეს ტერმინი ეხება უწყვეტი ტრანსფორმაციის, რაიმე quadratically ინტეგრებადი გამოხატვის თანხა კომპლექსი exponential გამოხატვის კონკრეტული კუთხის სიხშირეზე და amplitudes. ამ სახეობის სხვადასხვა ფორმები, რომელიც შეიძლება იყოს განსხვავებული მუდმივი კოეფიციენტები. უწყვეტი მეთოდი მოიცავს კონვერტაციის მაგიდა, რომელიც გვხვდება მათემატიკური სახელმძღვანელოების. განზოგადებული შემთხვევაში არის fractional კონვერტაციის, რომლის დროსაც ეს პროცესი შეიძლება დასვა სასურველ რეალური ძალაუფლება.

2. უწყვეტი მეთოდი განზოგადება ადრე ტექნიკა ფურიეს განსაზღვრული ნებისმიერი პერიოდული ფუნქციების ან გამონათქვამები, რომელიც არსებობს შეზღუდული არეალი და წარმოადგენს მათ, როგორც სერია sinusoids.

3. დისკრეტული ფურიეს გარდაქმნა. ეს მეთოდი გამოიყენება კომპიუტერული სამეცნიერო გამოთვლითი და ციფრული სიგნალის დამუშავება. განახორციელოს ამ ტიპის გაანგარიშება უნდა ჰქონდეს ფუნქცია განსაზღვრის შესახებ დისკრეტული კომპლექტი ინდივიდუალური ქულა, პერიოდული ან შეზღუდული რეგიონში ნაცვლად უწყვეტი ფურიეს ინტეგრალების. სიგნალი კონვერტაციის ამ შემთხვევაში წარმოდგენილია, როგორც თანხა sinusoids. გამოყენება "სწრაფი" მეთოდი საშუალებას იძლევა გამოყენება ციფრული გადაწყვეტილებები ყველა პრაქტიკული მიზნებისთვის.

4. window ფურიეს გარდაქმნა არის განზოგადებული ხედი კლასიკური მეთოდით. განსხვავებით სტანდარტული გადაწყვეტილებები, როდესაც სიგნალი სპექტრი გამოიყენება, რომელიც მიღებული სრული სპექტრის არსებობის ეს ცვლადი არის განსაკუთრებული ინტერესი აქ არის მხოლოდ ადგილობრივი სიხშირული განაწილება ხოლო შენარჩუნების ორიგინალური ცვლადი (დრო).

5. ორგანზომილებიანი ფურიეს გარდაქმნა. ეს მეთოდი გამოიყენება მუშაობა ორგანზომილებიანი მასივების მონაცემები. ასეთ შემთხვევაში, კონვერტაციის შესრულებული ერთი მიმართულებით, შემდეგ კი - სხვა.

დასკვნა

დღეს, ფურიეს მეთოდი მტკიცედ ინარჩუნებს მეცნიერების სხვადასხვა დარგში. მაგალითად, 1962 წელს გაიხსნა ფორმის დნმ ორმაგი სპირალის გამოყენებით ფურიეს ანალიზი ერთად რენტგენის დიფრაქციული. ბოლო კრისტალები ორიენტირებულია დნმ ბოჭკოების, რის შედეგადაც გამოსახულება, რომელიც მიღებული დიფრაქციული, ჩაწერილი ფილმი. ეს სურათი მიაწოდა ინფორმაცია, ღირებულება ამპლიტუდა გამოყენებით ფურიეს გარდაქმნა ამ კრისტალური სტრუქტურა. ფაზა მიღებული მონაცემების შედარებით დნმ დიფრაქციული ბარათები ბარათები, რომლებიც მიღებული ანალიზი მსგავსი ქიმიური სტრუქტურებში. შედეგად, ბიოლოგებს აღდგენილი კრისტალური სტრუქტურა - ორიგინალური ფუნქცია.

ფურიეს გარდაქმნა ითამაშოს დიდი როლი შესწავლა გარე სამყაროსთან, ფიზიკის ნახევარგამტარული მასალების და პლაზმაში, მიკროტალღური აკუსტიკა, ოკეანოგრაფიული, რადარი, სეისმური და სამედიცინო გამოკვლევები.