Კრამერის მეთოდი და მისი გამოყენება

კრამერის მეთოდი ერთ-ერთი ზუსტი მეთოდებია ხაზოვანი ალგებრული განტოლების (SLAE) სისტემების გადაჭრისათვის . მისი სიზუსტე განპირობებულია სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელებით, ასევე თეორიის მტკიცებულების გათვალისწინებით განსაზღვრული გარკვეული შეზღუდვები.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემა, რომელიც შედგება კოეფიციენტების კუთხით, მაგალითად, R- რეალურ ნომრებზე, უცნობი x1, x2, ..., xn არის ფორმის გამოხატვა

Ai2 x1 + ai2 x2 + ... ain xn = bi i = 1, 2, ..., m, (1)

სად არის ბი, ნამდვილი რიცხვები. თითოეული ამ გამონათქვამს ეწოდება წრფივი განტოლება, აის კოეფიციენტები უცნობებისთვის, განტოლებების თავისუფალი კოეფიციენტებით.

სისტემის 1 (x) = x1 = (x1 °, x2 °, ..., xn °), რომელიც სისტემაში ჩაანაცვლებს x1, x2, ..., xn, ნაცვლად სისტემის თითოეულ რიგს წარმოადგენს ნამდვილი თანასწორობა .

სისტემა არის ერთობლივი, თუ მას აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი და შეუთავსებელია, თუ მისი გადაწყვეტა მითითებული ემთხვევა ცარიელი კომპლექტი.

უნდა აღინიშნოს, რომ Cramer- ის მეთოდის გამოყენებით ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემების გადაწყვეტის მიზნით სისტემური მატრიცები უნდა იყოს სკვერი, რაც არსებითად ნიშნავს სისტემის უცნობი და განტოლებების იგივე რაოდენობას.

ასე რომ, Cramer- ის მეთოდის გამოყენებისას, მაინც უნდა იცოდეს, რა არის ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემების მატრიცა და როგორ არის ჩამოწერილი. მეორეც, უნდა გვესმოდეს, თუ რა ეწოდება მატრიცის განმსაზღვრელს და ვიცი მისი გაანგარიშების უნარი.

დავუშვათ, რომ თქვენ ფლობენ ამ ცოდნას. მშვენიერია! მაშინ უბრალოდ უნდა გვახსოვდეს ფორმულები, რომლებიც განსაზღვრავენ Cramer- ს მეთოდს. მოგონებების გააქტიურების მიზნით ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ ნოტაციას:

• Det წარმოადგენს სისტემის მატრიცის ძირითად განმსაზღვრელს;

• Deti არის სისტემის მატრიცისგან მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი, თუ მატრიცის I- ს სვეტი შეიცვლება სვეტის ვექტორებით, რომლის ელემენტები ხაზოვანი ალგებრული განტოლების სისტემების მარჯვენა მხარეს წარმოადგენს;

• N არის სისტემის უცნობი და განტოლებები.

მაშინ განზომილებიანი ვექტორის X- ის i- ის კომპონენტის xi (i = 1, ... n) გამოთვლისთვის Cramer წესი შეიძლება ჩაიწეროს ფორმით

Xi = deti / Det, (2).

Det მკაცრად nonzero.

სისტემების გადაწყვეტის უნიკალურობა, როდესაც იგი შეესაბამება სისტემური სისტემის ძირითად განმსაზღვრელს, ნულია. წინააღმდეგ შემთხვევაში, თუ ჯამი (xi), კვადრატი, მკაცრად დადებითია, მაშინ SLAE კვადრატული მატრიცა იქნება შეუსაბამო. ეს შეიძლება მოხდეს, კერძოდ, როდესაც სულ ერთი დეტი მაინც განსხვავდება ნულისაგან.

მაგალითი 1 . მოგვარდეს LAU სამგანზომილებიანი სისტემა Cramer- ის ფორმულებით.
X1 + 2 x2 + 4 x3 = 31,
5 x1 + x2 + 2 x3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

გამოსავალი. ხაზს ვწერდით სისტემის ხაზის მატრიცაში, სადაც აი არის მატრიცის ველში.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3 -1 1 1).
თავისუფალი კოეფიციენტების სვეტი b = (31 29 10).

დედის სისტემის მთავარი განმსაზღვრელია
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 a13 a22 a31 a31 a11 a32 a23 a33 a21 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Det1- ს გამოთვლა, ჩვენ ვიყენებთ ჩანაცვლებას a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. შემდეგ
Det1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

ანალოგიურად, გამოთვალეთ det2, ვიყენებთ ჩანაცვლებას a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 და, შესაბამისად, გამოთვლა det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
ამის შემდეგ შეგიძლიათ შეამოწმოთ det2 = -108 და det3 = -135.
კრამერის ფორმულების მიხედვით ჩვენ ვგულისხმობთ x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5.

პასუხია: x ° = (3,4,5).

ამ წესის გამოყენების პირობების დაკმაყოფილებისას, კრემერის მეთოდი ხაზოვანი განტოლების სისტემების გადაჭრის მეთოდის გამოყენება ირიბად შეიძლება გამოყენებულ იქნას, მაგალითად, სისტემის შესაძლო გამონაკლისის შესწავლა, რაც დამოკიდებულია გარკვეულ პარამეტრთა სიდიდეზე.

მაგალითი 2. განსაზღვრავს რა პარამეტრების მნიშვნელობები k უტოლდება | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 აქვს ზუსტად ერთი გამოსავალი.

გამოსავალი.
ეს უტოლობა, ფუნქციის მოდულის განსაზღვრის ძალით, შეიძლება დაკმაყოფილდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე გამონათქვამები ერთდროულად ნულოვანია. ამდენად, ეს პრობლემა ამცირებს ალგებრული განტოლების ხაზოვანი სისტემის გამოსავალს

Kx - y = 4,
X + ky = -4.

ამ სისტემის გადაწყვეტა უნიკალურია, თუ მისი ძირითადი განმსაზღვრელი
Det = k ^ {2} + 1 არის ნულოვანი. ცხადია, ეს პირობა კმაყოფილია ყველა ნამდვილი ღირებულებით პარამეტრი კ.

პასუხი: ყველა ნამდვილი ღირებულების პარამეტრი კ.

ამ ტიპის პრობლემებზე შეიძლება ასევე შემცირდეს მათემატიკური, ფიზიკის ან ქიმიის სფეროში არსებული პრაქტიკული პრობლემები .