Თვითმფრინავის განტოლება: როგორ შევადგინოთ თვითმფრინავის განტოლების სახეები

თვითმფრინავი სივრცეში შეიძლება განისაზღვროს სხვადასხვა გზებით (ერთი dot და ვექტორი, ვექტორული და ორი ქულა, სამი ქულა, და ა.შ.). ეს არის ამის გათვალისწინებით, თვითმფრინავი განტოლება შეიძლება ჰქონდეს სხვადასხვა სახის. გარდა ამისა, გარკვეულ პირობებში თვითმფრინავი შეიძლება პარალელურად, მართობს, კვეთს, და ა.შ. ამ და გაიგო ამ სტატიაში. ჩვენ შეისწავლიან, რათა ზოგადი განტოლება თვითმფრინავი და არა მხოლოდ.

ნორმალური ფორმა განტოლება

დავუშვათ R არის სივრცე, _3, რომელსაც აქვს მართკუთხა საკოორდინატო სისტემაში XYZ. ჩვენ განსაზღვრავს ვექტორი α, რომელიც იქნება ამოსავალი წერტილი O. ბოლომდე ვექტორი α მიაპყროს თვითმფრინავი P რომელიც პერპენდიკულარულია იგი.

აღვნიშნოთ თვითნებური წერტილი P წლის Q = (x, y, z). რადიუსის ვექტორი წერტილი Q ნიშანი წერილი გვ. ხანგრძლივობა ვექტორი ტოლია α p = IαI და Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

ეს ერთეული ვექტორი, რომელიც მიმართულია იმ მიმართულებით, როგორც ვექტორი α. α, β და γ - არიან კუთხით, რომ წარმოიქმნება შორის ვექტორი და დადებითი მიმართულებით Ʋ სივრცის ღერძი x, y, z შესაბამისად. პროექტორის წერტილი ვექტორი QεP Ʋ არის მუდმივი რომელიც უდრის p (p, Ʋ) = P (r≥0).

აღნიშნული განტოლება არის მნიშვნელოვანი, როდესაც p = 0. ერთადერთი n თვითმფრინავი ამ შემთხვევაში, რომ გადაკვეთის წერტილში O (α = 0), რომელიც წარმოშობის, და ერთეული ვექტორი Ʋ, გაათავისუფლეს წერტილი O იქნება მართობს P, მიუხედავად იმისა, რომ მისი მიმართულებით, რაც იმას ნიშნავს, რომ ვექტორი Ʋ განისაზღვრება მდე ნიშანი. წინა განტოლება არის ჩვენი თვითმფრინავი P, გამოხატული ვექტორი ფორმა. მაგრამ თვალსაზრისით მისი კოორდინატები არის:

P მეტია ან ტოლია 0. ვიპოვეთ თვითმფრინავი განტოლება ნორმალური ფორმით.

ზოგადი განტოლება

თუ განტოლების კოორდინატები გავამრავლოთ ნებისმიერი ნომერი, რომელიც არ არის ნულის ტოლია, ვიღებთ განტოლება ექვივალენტი ამ, რომელიც განსაზღვრავს ძალიან თვითმფრინავი. მას მოუწევს შემდეგი სახით:

აქ, A, B, C - არის რიგი ერთდროულად ნულიდან. ეს განტოლება ეწოდება განტოლება ზოგადი სახით თვითმფრინავი.

განტოლებების თვითმფრინავები. განსაკუთრებულ შემთხვევებში,

განტოლება შეიძლება საერთოდ შეცვლილია დამატებითი პირობები. განვიხილოთ ზოგიერთი მათგანი.

ვივარაუდოთ, რომ კოეფიციენტი A არის 0. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ თვითმფრინავი პარალელურად წინასწარ ღერძი Ox. ამ შემთხვევაში, სახით განტოლება ცვლის: Wu + Cz + D = 0.

ანალოგიურად, სახით განტოლება და განსხვავებული იქნება შემდეგი პირობებით:

• პირველ რიგში, თუ B = 0, განტოლება ცვლილებები Ax + Cz + D = 0, რომელიც მიუთითებს პარალელიზმის ღერძი Oy.
• მეორე, თუ C = 0, განტოლება გადაკეთდა ax + by + D = 0, რომელიც უნდა ილაპარაკონ პარალელურად წინასწარ ღერძი Oz.
• მესამე, D = 0, განტოლება გამოჩნდება, როგორც ax + by + Cz = 0, რაც იმას ნიშნავს, რომ თვითმფრინავი კვეთს O (წარმოშობის).
• მეოთხე, თუ A = B = 0, განტოლება ცვლილებები Cz + D = 0, რომელიც ადასტურებს, რომ პარალელიზმის Oxy.
• მეხუთე, თუ B = C = 0, განტოლება Ax + D = 0, რაც იმას ნიშნავს, რომ თვითმფრინავი პარალელურად Oyz.
• Sixthly, თუ A = C = 0, განტოლება ფორმას იღებს Wu + D = 0, ანუ ანგარიშს პარალელიზმის Oxz.

ფორმა განტოლების სეგმენტების

იმ შემთხვევაში, თუ ნომრები A, B, C, D სხვადასხვა ნულიდან, სახით განტოლება (0) შეიძლება იყოს შემდეგნაირად:

x / a + y / b + z / c = 1,

სადაც a = -D / A, B = -D / B, c = -D / C.

ჩვენ ვიღებთ შედეგად განტოლება თვითმფრინავი ცალი. აღსანიშნავია, რომ ეს თვითმფრინავი გადაიკვეთება x ღერძი მომენტი, კოორდინატები (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), და Oz - (0,0, s).

იმის გათვალისწინებით, რომ განტოლება x / a + y / b + z / c = 1, ეს არ არის რთული ვიზუალურად განთავსება თვითმფრინავი ნათესავი წინასწარ საკოორდინატო სისტემაში.

კოორდინატები ნორმალური ვექტორი

ნორმალური ვექტორი n თვითმფრინავი P აქვს კოორდინატები, რომლებიც კოეფიციენტების ზოგადი განტოლება თვითმფრინავი, ანუ n (A, B, C).

იმისათვის, რომ დადგინდეს კოორდინატები ნორმალური n, ეს არის საკმარისი, რომ ვიცი ზოგადად განტოლება მოცემული თვითმფრინავი.

გამოყენებისას განტოლების სეგმენტები, რომელსაც აქვს ფორმა x / a + y / b + z / c = 1, როდესაც გამოყენებით ზოგადი განტოლება შეიძლება ჩაიწეროს კოორდინატები ნებისმიერი ნორმალური ვექტორი მოცემული თვითმფრინავი: (1 / a + 1 / b + 1 / გ).

აღსანიშნავია, რომ ნორმალური ვექტორი ეხმარება მოსაგვარებლად სხვადასხვა პრობლემები. ყველაზე გავრცელებული პრობლემები რომელიც შედგება მტკიცებულება მართობს და პარალელური სიბრტყეები, ამოცანა მოძიებაში კუთხეებს შორის თვითმფრინავები და კუთხეებს შორის თვითმფრინავები და სწორი ხაზები.

ტიპი მიხედვით თვითმფრინავი განტოლება და კოორდინატები წერტილი ნორმალური ვექტორი

არანულოვანი ვექტორი n, პერპენდიკულარულად მოცემული თვითმფრინავი, რომელსაც ეწოდება ნორმალური (ნორმალური), რათა წინასწარ თვითმფრინავი.

ვარაუდობენ, რომ კოორდინირება ფართი (მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა) Oxyz მითითებული

• Mₒ წერტილი კოორდინატები (hₒ, uₒ, zₒ);
• ნულოვანი ვექტორი n = A * i + B * j + C * k.

თქვენ უნდა მიიღოს განტოლება თვითმფრინავი, რომელიც გადის Mₒ წერტილი პერპენდიკულარულად ნორმალური n.

სივრცეში ჩვენ ვირჩევთ ნებისმიერი თვითნებური წერტილი და აღნიშნავს M (x, y, z). მოდით რადიუსში ვექტორი თითოეული წერტილი M (x, y, z) იქნება r = x * I + y * j + z * k, და რადიუსი ვექტორი წერტილი Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. წერტილი M ეკუთვნის მოცემული თვითმფრინავი, თუ ვექტორი MₒM იყოს პერპენდიკულარულად ვექტორი n. ჩვენ დაწერა მდგომარეობის orthogonality გამოყენებით სკალარული პროდუქტი:

[MₒM, n] = 0.

მას შემდეგ, რაც MₒM = r-rₒ, ვექტორი განტოლება თვითმფრინავი ასე გამოიყურება:

[R - rₒ, n] = 0.

ეს განტოლება შეიძლება ასევე გვაქვს სხვა ფორმის. ამ მიზნით, თვისებები სკალარული პროდუქტი, და მოაქცია მარცხენა მხარეს განტოლება. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. თუ [rₒ, n] აღინიშნება როგორც s, ვიღებთ შემდეგი განტოლებით: [r, n] - a = 0 ან [r, n] = s, რომელიც გამოხატავს უცვლელობა პროგნოზები ნორმალური ვექტორი რადიუსში-ვექტორები მოცემული რაოდენობა, რომელიც ეკუთვნის თვითმფრინავი.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ საკოორდინატო ტიპის ჩაწერის თვითმფრინავი ჩვენი ვექტორი განტოლება [r - rₒ, n] = 0. მას შემდეგ, რაც რ-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k და n = A * i + B * j + C * k, ჩვენ გვაქვს:

გამოდის, რომ ჩვენ გვაქვს განტოლება იქმნება თვითმფრინავი გავლით წერტილი პერპენდიკულარულად ნორმალური n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

ტიპი მიხედვით თვითმფრინავი განტოლება და კოორდინატები ორ რაოდენობა ვექტორი თვითმფრინავი collinear

ჩვენ განისაზღვროს ორი თვითნებური რაოდენობა M '(x', y ', z') და M "(x", შ "z"), ისევე როგორც ვექტორი (ა ", a", რომელიც ‴).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება წინასწარ თვითმფრინავი, რომელიც გადის არსებული წერტილი M და M ", და თითოეული წერტილი კოორდინატები M (x, y, z) პარალელურად მოცემულ ვექტორი.

ამდენად M'M ვექტორები x = {x ', y-y'; zz '} და M "M = {x" -x ", y' y '; z" -z'} უნდა იყოს coplanar ერთად ვექტორი a = (a ", რომელიც", a ‴), რაც იმას ნიშნავს, რომ (M'M M "M, a) = 0.

ასე რომ, ჩვენი განტოლება თვითმფრინავი სივრცეში ასე გამოიყურება:

გაცნობის თვითმფრინავი განტოლება, გადაკვეთის სამი ქულა

მოდით ვთქვათ, ჩვენ გვაქვს სამი ქულა: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ არ ‴, z ‴), რომელიც არ მიეკუთვნება იგივე ხაზი. აუცილებელია დაწერა განტოლება თვითმფრინავი გადის სამი ქულა მითითებული. გეომეტრია თეორია ამტკიცებს, რომ ამ სახის თვითმფრინავი არ არსებობს, ეს მხოლოდ და მხოლოდ. მას შემდეგ, რაც ამ თვითმფრინავი კვეთს წერტილი (x ', y', z '), მისი განტოლება ფორმა იქნება:

აქ, A, B, და C განსხვავდება ნულოვანი ამავე დროს. ასევე მოცემული თვითმფრინავი კვეთს ორი მეტი რაოდენობა (x ", შ" z ") და (x ‴, y ‴, z ‴). ამასთან დაკავშირებით უნდა ჩატარდეს ამ სახის პირობები:

ახლა ჩვენ შეგვიძლია შევქმნათ ერთიანი სისტემის განტოლებები (ხაზოვანი) ერთად unknowns u, v, w:

ჩვენს შემთხვევაში x, y და z დგას თვითნებური წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას (1). იმის გათვალისწინებით, განტოლება (1) და განტოლებათა სისტემის (2) და (3) განტოლებათა სისტემის მითითებულ ფიგურა ზემოთ, ვექტორი აკმაყოფილებს N (A, B, C), რომელიც nontrivial. ეს იმიტომ, რომ განმსაზღვრელი სისტემა არის ნულოვანი.

განტოლება (1), რომ ჩვენ მივიღეთ, ეს არის განტოლება თვითმფრინავი. 3 წერტილი იგი ნამდვილად მიდის, და ეს არის მარტივი შემოწმება. ამისათვის, ჩვენ გაფართოებას განმსაზღვრელი ელემენტები, პირველ რიგში. არსებული თვისებები განმსაზღვრელი შემდეგნაირად, რომ ჩვენი თვითმფრინავი ერთდროულად კვეთს სამი თავდაპირველად წინასწარ წერტილი (x ', y', z '), (x ", შ" z "), (x ‴, y ‴, z ‴). ამიტომ, ჩვენ გადავწყვიტეთ ამოცანაა თვალწინ.

Dihedral კუთხე შორის თვითმფრინავები

Dihedral კუთხე არის სივრცის გეომეტრიული ფორმის ჩამოყალიბდა ორი ნახევარი თვითმფრინავი, რომელიც მომდინარეობს სწორი ხაზი. სხვა სიტყვებით, ფართის ნაწილი, რომელიც შემოიფარგლება ნახევარი თვითმფრინავები.

დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს ორი თვითმფრინავი შემდეგი კოორდინატებით:

ჩვენ ვიცით, რომ ვექტორი N = (A, B, C) და N¹ = (â¹, H¹, S¹) შესაბამისად წინასწარ თვითმფრინავი მართობს. ამ მხრივ, კუთხე φ შორის ვექტორები N და N¹ თანაბარი კუთხე (dihedral), რომელიც მდებარეობს შორის თვითმფრინავები. სკალარული პროდუქტი მოცემულია მიერ:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

სწორედ იმიტომ, რომ

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (â¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

ეს არის საკმარისი იმისათვის, რომ თვლიან, რომ 0≤φ≤π.

რეალურად ორი თვითმფრინავი, რომელიც იკვეთება, ფორმა ორი კუთხე (dihedral): φ ₁ და φ _2. მათი ჯამი უდრის პი (φ ₁ + φ ₂ = π). რაც შეეხება მათ cosines, მათი აბსოლუტური ღირებულებები თანაბარი, მაგრამ ისინი სხვადასხვა ნიშნები, რომ არის, cos φ ₁ = -cos φ _2. იმ შემთხვევაში, თუ განტოლება (0) შეიცვალა A, B და C -A, -B და -C შესაბამისად, განტოლება, ვიღებთ იგივე განსაზღვრავს თვითმფრინავი მხოლოდ, კუთხის φ განტოლება cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | ეს შეიცვლება π-φ.

განტოლება მართობს თვითმფრინავი

მოუწოდა მართობს თვითმფრინავი, რომელთა შორის კუთხე 90 გრადუსია. გამოყენება მასალა წარმოდგენილი ზემოთ, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ განტოლება თვითმფრინავი პერპენდიკულარულად სხვა. დავუშვათ, გვაქვს ორი თვითმფრინავი: ax + by + Cz + D = 0, და + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. შეიძლება ითქვას, რომ ისინი ორთოგონალური თუ cos = 0. ეს ნიშნავს, რომ NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

განტოლება პარალელურად თვითმფრინავი

იგი მოხსენიებული ორი პარალელური თვითმფრინავები, რომელიც არ შეიცავს რაოდენობა საერთო.

მდგომარეობის პარალელურად თვითმფრინავები (მათი განტოლებათა იგივეა, რაც წინა პუნქტის), რომ ვექტორები N და N¹, რომლებიც პერპენდიკულარულად მათ, collinear. ეს ნიშნავს, რომ შემდეგი პირობა პროპორციულობის:

A / â¹ = B / C H¹ = / S¹.

თუ პროპორციული თვალსაზრისით გაფართოვდა - A / â¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

ეს იმაზე მიუთითებს, რომ მონაცემები თვითმფრინავი იგივე. ეს იმას ნიშნავს, რომ განტოლება ax + by + Cz + D = 0 და + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 აღწერს ერთი თვითმფრინავი.

მანძილი წერტილი თვითმფრინავი

დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს თვითმფრინავი P, რომელიც მოცემული (0). აუცილებელია მოვძებნოთ დაშორება წერტილი კოორდინატები (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , თქვენ უნდა მოუტანოს განტოლების თვითმფრინავი II ნორმალური გამოჩენა, რათა ის:

(Ρ, v) = P (r≥0).

ამ შემთხვევაში, ρ (x და y, z) რადიუსის ვექტორი ჩვენი წერტილი Q მდებარე n p - n არის სიგრძით მართობს, რომელიც გაათავისუფლეს ნულოვანი წერტილი, v - არის ერთეული ვექტორი, რომელიც მდებარეობს მიმართულებით.

განსხვავება ρ-ρº რადიუსში ვექტორი წერტილი Q = (x, y, z), რომლებიც n და რადიუსი ვექტორი მოცემულ ეტაპზე Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) არის ასეთი ვექტორი, აბსოლუტური ღირებულება პროექტორის რომელიც v უდრის მანძილი d, რომელიც აუცილებელია, რათა იპოვოს from Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ), რათა P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, მაგრამ

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

ასე რომ, თურმე,

d = | (ρ ^0, v) p |.

ახლა ცხადია, რომ გამოვთვალოთ მანძილი d _0-დან Q თვითმფრინავი P, აუცილებელია გამოვიყენოთ ჩვეულებრივი თვითმფრინავი განტოლება, გადასვლას მარცხენა P, და ბოლო ადგილზე x, y, z შემცვლელი (hₒ, uₒ, zₒ).

ამგვარად, ჩვენ ვხედავთ, რომ აბსოლუტური ღირებულება შედეგად გამოხატვის, რომ არ არის საჭირო, დ.

გამოყენება პარამეტრების ენის, მივიღებთ ნათელია:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

იმ შემთხვევაში, თუ მითითებული წერტილი Q ₀ მეორეს მხარეს თვითმფრინავი P როგორც წარმოშობის, მაშინ შორის ვექტორი ρ-ρ ⁰ და V არის obtuse კუთხე, ამგვარად:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

იმ შემთხვევაში, თუ წერტილში Q ₀ ერთად წარმოშობის იმავე მხარეს U, გატანილი გოლის წყალობით იქმნება, რომ არის:

d = (ρ-ρ ^0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

შედეგი ისაა, რომ პირველ შემთხვევაში (ρ ^0, v)> p, მეორე (ρ ^0, v)

და მისი ტანგესი თვითმფრინავი განტოლება

რაც შეეხება თვითმფრინავი ზედაპირზე წერტილი tangency Mº - თვითმფრინავი, რომელიც შეიცავს ყველა შესაძლო მხებია მრუდის შედგენილი მეშვეობით, რომ წერტილი ზედაპირზე.

ამ ზედაპირზე სახით განტოლება F (x, y, z) = 0 განტოლების ტანგესი თვითმფრინავი მხები წერტილი Mº (hº, uº, zº) იქნება:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

თუ ზედაპირზე არის მკაფიოდ z = f (x, y), მაშინ ტანგესი თვითმფრინავი არის აღწერილი განტოლება:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

გადაკვეთაზე ორი თვითმფრინავი

In სამგანზომილებიანი სივრცე არის კოორდინატთა სისტემა (მართკუთხა) Oxyz, მოცემული ორი თვითმფრინავი P და P 'რომ გადახურვა და ერთმანეთს არ ემთხვევა. მას შემდეგ, რაც ნებისმიერი თვითმფრინავი, რომელიც არის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა განისაზღვრება ზოგადი განტოლება, ვივარაუდოთ, რომ n 'და n "განისაზღვრება განტოლებები A'x + V'u S'z + + D' = 0 და" + B x + y "z + D" = 0. ამ შემთხვევაში ჩვენ გვაქვს ნორმალური n '(A', B ', C) თვითმფრინავი P' და ნორმალური n "(A", B ", C") თვითმფრინავი P ". როგორც ჩვენი თვითმფრინავი არ არიან პარალელურად და ერთმანეთს არ ემთხვევა, მაშინ ეს ვექტორები არ collinear. ენით მათემატიკა, ჩვენ ამ მდგომარეობაში შეიძლება ჩაიწეროს როგორც: n '≠ n "↔ (A', B ', C) ≠ (λ * და", λ * In ", λ * C"), λεR. დაე, სწორი ხაზი, რომელიც მდგომარეობს გადაკვეთაზე P და P ", იქნება აღინიშნება წერილში, ამ შემთხვევაში a = P '∩ P".

და - ხაზი, რომელიც შედგება კომპლექტი ყველა რაოდენობა (ზოგადი) თვითმფრინავი P და P ". ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატები ნებისმიერი წერტილი კუთვნილი ხაზი, ერთდროულად უნდა დააკმაყოფილოს განტოლება A'x + V'u S'z + + D '= 0 და "x + B + C y" z + D "= 0. ეს ნიშნავს, რომ კოორდინატები წერტილი იქნება კონკრეტული გადაწყვეტა შემდეგი კოორდინატებით:

შედეგი ის არის, რომ გამოსავალი (საერთო) ამ განტოლების სისტემა განსაზღვრავს კოორდინატებს რაოდენობა ხაზი, რომელიც იმოქმედებს კვეთა წერტილი P და P ", და განსაზღვროს ხაზი კოორდინატთა სისტემა Oxyz (მართკუთხა) სივრცეში.