Როგორ გამოვთვალოთ ფართობი პირამიდის: ბაზა, გვერდითი და სრული?

მზადება გამოცდა მათემატიკაში სტუდენტებს უნდა სისტემატიზაცია ცოდნა ალგებრას და გეომეტრიას. მინდა გაერთიანდება ყველა ცნობილი ინფორმაცია, როგორიცაა, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ ფართობი პირამიდის. უფრო მეტიც, დაწყებული ქვედა და გვერდითი წინაშე, სანამ მთელი ზედაპირი. იმ შემთხვევაში, თუ მხარის წინაშე სიტუაცია ნათელია, რადგან ისინი სამკუთხედები, ბაზა ყოველთვის განსხვავებულია.

როგორ უნდა იყოს, როდესაც ბაზის ტერიტორიაზე პირამიდის?

ეს შეიძლება იყოს საკმაოდ ნებისმიერი ფიგურა თვითნებური სამკუთხედის n-gon. და ეს ბაზა, გარდა განსხვავება რაოდენობის კუთხით, შეიძლება სწორი ან არასწორი ფიგურა. ინტერესი სტუდენტები ამოცანები გამოცდის ი მხოლოდ სამუშაო სწორი მოღვაწეები ბაზაზე. აქედან გამომდინარე, ჩვენ მხოლოდ გაიგო მათ შესახებ.

ტოლგვერდა სამკუთხედის

ეს არის ტოლგვერდა. ერთი, რომ ყველა მხარე თანაბარი და ინიშნებიან ასო "A". ამ შემთხვევაში, ბაზაზე პირამიდის გამოითვლება ფორმულით:

S = ⁽² * √3) / 4.

მოედანზე

ფორმულა გამოვთვალოთ მისი ფართობი არის მარტივი, არის "ა" - მხარე კიდევ ერთხელ:

და S = ^2.

უკანონო რეგულარული n-gon

ამავე მხარეს პოლიგონის იგივე აღნიშვნა. რაოდენობის კუთხეების გამოიყენება ლათინური ასო n.

S = (n * a ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

როგორ შევა გაანგარიშება ფართობი გვერდითი და სრული ზედაპირზე?

მას შემდეგ, რაც ბაზაზე ფიგურა არის სწორი, მაშინ ყველა სახეები პირამიდის ტოლია. რომელთაგან თითოეული არის ტოლფერდა სამკუთხედი, რადგან გვერდითი კიდეები ტოლია. ამის შემდეგ, რათა გამოთვლა ფართობი მხარეს პირამიდის უნდა ფორმულა შედგება თანხა monomials იდენტურია. რაოდენობის თვალსაზრისით განისაზღვრება თანხის ბაზის მხარეს.

ფართობი ტოლფერდა სამკუთხედი გამოითვლება ფორმულით, რომელშიც ნახევარი ბაზის პროდუქტი მრავლდება სიმაღლე. ეს სიმაღლე პირამიდის მოუწოდა apothem. მისი აღნიშვნა - "A". ზოგადი ფორმულა ფართობი ლატერალურ ზედაპირზე ასეთია:

S = ½ P * A, სადაც P - პერიმეტრზე ბაზაზე პირამიდის.

არსებობს დრო, როცა ეს არ არის ცნობილი, რომ ბაზის მხარეს, მაგრამ გვერდითი კიდეები (a) ბინა და კუთხე apex (α). მაშინ ის ეყრდნობა გამოიყენოთ შემდეგი ფორმულა გვერდითი ფართობი პირამიდის:

S = n / 2 ² ცოდვის α.

სამუშაო № 1

მდგომარეობა. ს საერთო ფართობი პირამიდის, თუ მისი ბაზა ტოლგვერდა სამკუთხედის ერთად მხარეს 4 სმ და აქვს ღირებულება √3 apothem სმ.

გადაწყვეტილება. ეს უნდა დაიწყოს გაანგარიშება პერიმეტრის. ვინაიდან ეს არის რეგულარული სამკუთხედის, მაშინ P = 3 * 4 = 12 სმ apothem როგორც ცნობილია, შეიძლება მაშინვე გამოთვლა ფართობი მთელი ლატერალურ ზედაპირზე :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^{სმ 2.}

მიიღოს ბაზაზე სამკუთხედის ღირებულება ფართობი (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^{სმ 2.}

განსაზღვროს მთელი ტერიტორია უნდა ჩამოყაროს ორი შედეგად ღირებულებებს: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^{სმ 2.}

პასუხი. 10√3 ^{სმ 2.}

პრობლემა № 2

მდგომარეობა. არსებობს რეგულარული quadrangular პირამიდის. სიგრძე ფუძე უდრის 7 მმ, გვერდითი ზღვარი - 16 მმ. თქვენ უნდა იცოდეს, მისი ფართობი.

გადაწყვეტილება. მას შემდეგ, რაც polyhedron - მართკუთხა და სწორი, მის ბაზაზე არის მოედანი. სმენის ბაზის ტერიტორიაზე და გვერდითი მხარე შეძლებს იმედი მოედანზე პირამიდის. ფორმულა მოედანზე მოცემულია ზემოთ. და მე ვიცი, ყველა მხარეს სახეები სამკუთხედის. აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ გამოიყენოთ Heron ის ფორმულა, თავიანთ სფეროებში.

პირველი გათვლებით მარტივი და გამოიწვიოს ამ ნომერზე: 49 მმ ^2. გამოთვლა მეორე მნიშვნელობა უნდა semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 მმ. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოთვლა ფართობი ტოლფერდა სამკუთხედი: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 მმ ^2. არსებობს ოთხი სამკუთხედი, ასე რომ, როდესაც საანგარიშო საბოლოო ნომრები უნდა მრავლდება 4.

მიღებული: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

პასუხი. 267,576 სასურველი ღირებულება ² მმ.

სამუშაო № 3

მდგომარეობა. რეგულარული quadrangular პირამიდის აუცილებელია გამოვთვალოთ სფეროში. ცნობილია, მხარეს მოედანზე - 6 სმ და სიმაღლე - 4 სმ.

გადაწყვეტილება. იოლი გზა გამოვიყენოთ ფორმულა პროდუქტი პერიმეტრზე და apothem. პირველი მნიშვნელობა გამოჩენას უბრალოდ. მეორე ცოტა რთული.

ჩვენ უნდა გვახსოვდეს, რომ პითაგორას თეორემა და განიხილოს სამკუთხედის. იგი ჩამოყალიბდა სიმაღლე პირამიდის და apothem, რომელიც არის ჰიპოტენუზა. მეორე ფეხი ნახევარი მხარე მოედანზე, როგორც polyhedron სიმაღლე მოდის შუა იგი.

ფავორიტი apothem (ჰიპოტენუზა სამკუთხედის) უდრის √ (3 ² + 4 ²⁾ = 5 (სმ).

ახლა ეს შესაძლებელია გამოვთვალოთ სასურველი ღირებულება: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (სმ ^2).

პასუხი. 96 სმ ^2.

პრობლემა № 4

მდგომარეობა. Dana რეგულარული ექვსკუთხა პირამიდის. მხარეებმა მის ბაზაზე ტოლია 22 მმ, გვერდითი კიდეები - 61 mm. რა არის ფართობი გვერდითი ზედაპირზე ამ polyhedron?

გადაწყვეტილება. მსჯელობა ეს იგივეა, რაც აღწერილია ამოცანა №2. მხოლოდ პირამიდის მიეცა იქ მოედანზე ბაზაზე, და ახლა ის არის Hexagon.

პირველი ნაბიჯი გათვლილი მიერ ბაზაზე აღნიშნული ფორმულა ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^{სმ 2.}

ახლა თქვენ უნდა მოვძებნოთ ნახევარი პერიმეტრის ტოლფერდა სამკუთხედი, რომელიც მხარეს სახე. (22 + 61 * 2) :. = 72 სმ 2 რჩება Heron ფორმულა გამოთვლა ფართობი თითოეული სამკუთხედის და შემდეგ გავამრავლოთ იგი ექვსი ჯერ გაიზარდა, ხოლო ერთ-ერთი, რომელიც აღმოჩნდა რომ ბაზა.

გათვლებით Heron ფორმულა: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 სმ ^2. გათვლებით, რომელიც უზრუნველყოფს გვერდითი ზედაპირის ფართობი: 660 * 6 = 3960 სმ ^2. ეს რჩება შევკრებთ, რათა გაირკვეს, მთელ ზედაპირზე: 5217,47≈5217 სმ ^2.

პასუხი. საფუძველი - 726√3 სმ ^2, მხარეს ზედაპირზე - 3960 სმ ^2, მთელი ტერიტორია - 5217 სმ ^2.