Თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის. თეორემა on ჯამი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის

სამკუთხედის არის პოლიგონის მქონე სამი მხრიდან (სამი კუთხით). ყველაზე ხშირად, ნაწილი აღინიშნება მცირე წერილებს შესაბამისი ასოებით, რომელიც წარმოადგენს საპირისპირო წვერები. ამ სტატიაში ჩვენ შევხედოთ ამ ტიპის გეომეტრიული ფორმების, თეორემა, რომელიც განსაზღვრავს, თუ რა არის ტოლი თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის.

სახეები უდიდესი კუთხეების

შემდეგი სახის პოლიგონის სამი vertices:

• მწვავე მართკუთხაა, რომელშიც ყველა კუთხით მკვეთრი
• მართკუთხა, რომელსაც ერთი მარჯვენა კუთხე, მხარეს ფორმირების ის, მოხსენიებული ფეხები, და მხარე, რომელიც არის განწყობილი პირიქით მარჯვნივ კუთხე ეწოდება ჰიპოტენუზა;
• obtuse როდესაც ერთი კუთხე ბლაგვია ;
• ტოლფერდა, რომლის ორივე მხარეს თანაბარი და ისინი მოუწოდა გვერდითი, და მესამე - სამკუთხედის ერთად ბაზა;
• ტოლგვერდა, რომელსაც სამი თანაბარი მხარეები.

თვისებები

გამოყოფს ძირითადი თვისებები, რომელიც დამახასიათებელია თითოეული ტიპის სამკუთხედის:

• პირიქით, ყველაზე დიდი მხარე ყოველთვის უფრო დიდი კუთხე, და პირიქით;
• არიან თანაბარი კუთხით საპირისპირო თანაბარი უდიდესი პარტია, და პირიქით;
• ნებისმიერი სამკუთხედის ორი მწვავე კუთხეების
• გარე კუთხე უფრო მეტი, ვიდრე ნებისმიერი შიდა კუთხე არ მიმდებარე;
• თანხა ნებისმიერ ორ კუთხეს ყოველთვის ნაკლებია, ვიდრე 180 გრადუსი;
• გარე კუთხე ტოლია თანხა დანარჩენი ორი კუთხე, რომლებიც არ mezhuyut მასთან.

თეორემა on ჯამი სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის

თეორემა აცხადებს, რომ თუ თქვენ დაამატოთ მდე ყველა კუთხეში გეომეტრიული ფორმის, რომელიც მდებარეობს ევკლიდეს თვითმფრინავი, მაშინ მათი თანხა იქნება 180 გრადუსი. მოდით ცდილობენ დაამტკიცონ ამ თეორემა.

მოდით ჩვენ თვითნებური სამკუთხედის წვეროების kmn. Across ზედა M გამართავს პირდაპირი აღნიშნული ხაზის პარალელურად KN (თუნდაც ეს ხაზი ეწოდება ევკლიდე). აღსანიშნავია წერტილი ისე, რომ რაოდენობა K და მოწყობილი სხვადასხვა მხარეს ხაზი MN. ჩვენ მიიღოს იგივე კუთხე AMS და MUF, რომელიც, როგორც შინაგან საქმეთა, ტყუილი ჯვარედინად შექმნას კვეთს MN ერთად პირდაპირი CN და MA, რომლებიც პარალელურად. აქედან გამომდინარეობს, რომ თანხა კუთხეებს სამკუთხედი, რომელიც მდებარეობს vertices of M და N ტოლია ზომა CMA კუთხე. სამივე კუთხეების შედგება თანხას თანხა კუთხეებს KMA და MCS. მას შემდეგ, რაც მონაცემები შიდა კუთხეების ნათესავი ცალმხრივი პარალელური ხაზები CL და CM MA ზე intersecting, მათი ჯამი არის 180 გრადუსი. ეს კიდევ ერთხელ ადასტურებს თეორემა.

შედეგი

ზემოთ ზემოთ თეორემა გულისხმობს შემდეგი დასკვნა: ყოველი სამკუთხედის ორი მწვავე კუთხით. ამის დასამტკიცებლად, მოდით ვივარაუდოთ, რომ ეს გეომეტრიული ფიგურა აქვს მხოლოდ ერთი გოლის წყალობით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ვივარაუდოთ, რომ არც ერთი კუთხეში არ არის მკვეთრი. ამ შემთხვევაში ეს უნდა იყოს მინიმუმ ორი კუთხით, მასშტაბები, რომელიც უდრის ან აღემატება 90 გრადუსს. მაგრამ მაშინ თანხა კუთხეების უფრო მეტია, ვიდრე 180 გრადუსი. მაგრამ ეს არ შეიძლება იყოს, როგორც, თეორემა თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის უდრის 180 ° - არც მეტი, არც ნაკლები. ეს არის ის, რაც უნდა დადასტურდა.

ქონების გარე კუთხეებში

რა არის თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის, რომლებიც გარე? პასუხი ამ კითხვაზე შეიძლება მიღებული გამოყენებით ერთი ორი გზა. პირველი არის ის, რომ თქვენ უნდა იპოვოს თანხა კუთხით, რომელიც აღებულია ერთი ყოველ vertex, რომ არის, სამი კუთხით. მეორე გულისხმობს, რომ თქვენ უნდა მოვძებნოთ თანხა ექვსი კუთხეების წვერები. გამკლავება დასაწყისში პირველი განსახიერება. ამდენად, სამკუთხედის შეიცავს ექვსი გარე კუთხეში - ზედა ყოველი ორი. თითოეული წყვილი აქვს თანაბარი კუთხით მათ შორის, მას შემდეგ, რაც ისინი ვერტიკალური:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

გარდა ამისა, ცნობილია, რომ გარე კუთხეში სამკუთხედის ტოლია თანხა ორი ინტერიერი, რომლებიც არ არიან mezhuyutsya მასთან. აქედან გამომდინარე,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

აქედან ჩანს, რომ თანხა გარე კუთხეების, რომელიც აღებულია ერთი ახლოს ყოველ vertex ტოლი იქნება:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

თუ გავითვალისწინებთ იმ ფაქტს, რომ თანხა კუთხეებს უდრის 180 გრადუსს, ეს შეიძლება ითქვას, რომ ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. ეს ნიშნავს, რომ ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. თუ მეორე ვარიანტი გამოიყენება, თანხა ექვსი კუთხეების იქნება, შესაბამისად უფრო მეტი ორჯერ. ანუ თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის გარეთ იქნება:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

სამკუთხედი

რა არის ტოლი თანხა კუთხეებს სამკუთხედი, კუნძულ? პასუხი არის, კიდევ ერთხელ, ეხლა თეორემა, რომელიც აცხადებს, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი. ხმის ჩვენი მტკიცება (ქონების) ასეთია: სამკუთხედი მკვეთრი კუთხეების დაამატოთ მდე 90 გრადუსი. ჩვენ დაამტკიცოს თავისი ჭეშმარიტებაა. მიეცეს სამკუთხედის kmn, რომელიც ∟N = 90 °. აუცილებელია იმის დასამტკიცებლად, რომ ∟K ∟M = + 90 °.

შესაბამისად, თეორემა თანხა კუთხეებს ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. ამ მდგომარეობაში იგი აცხადებს, რომ ∟N = 90 °. თურმე ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. ეს არის ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. ეს არის ის, რაც ჩვენ უნდა დაამტკიცოს.

გარდა ამისა, აღნიშნული თვისებები სამკუთხედი, თქვენ შეგიძლიათ ამ:

• კუთხეების, რომელიც ეფუძნება წინააღმდეგ ფეხები მკვეთრი
• ჰიპოტენუზა სამკუთხა უფრო მეტი, ვიდრე რომელიმე ფეხები;
• თანხა ფეხები უფრო მეტია, ვიდრე ჰიპოტენუზა;
• ფეხი სამკუთხედი, რომელიც იმაში მდგომარეობს, საპირისპირო კუთხე 30 გრადუსია, ნახევარი ჰიპოტენუზა, რომელიც უდრის მისი ნახევარი.

როგორც სხვა ქონების გეომეტრიული ფორმის შეიძლება გამოირჩევა პითაგორას თეორემას. იგი ამტკიცებს, რომ სამკუთხედის კუთხე 90 გრადუსი (მართკუთხა), თანხა მოედნებზე ფეხები უდრის მოედანზე ჰიპოტენუზა.

თანხა კუთხეებს ტოლფერდა სამკუთხედი

მანამდე ჩვენ ვთქვით, რომ ტოლფერდა სამკუთხედი არის პოლიგონის სამი მწვერვალი, რომელიც შეიცავს ორ თანაბარი მხარეები. ეს უძრავი ქონება ცნობილია გეომეტრიული ფიგურა: კუთხეების მის ბაზაზე თანაბარი. მოდით დავამტკიცოთ ეს.

მიიღეთ სამკუთხედის kmn, რომელიც ტოლფერდა, SC - მის ბაზაზე. ჩვენ ვალდებულნი არიან დასამტკიცებლად, რომ ∟K = ∟N. ასე რომ, მოდით ვივარაუდოთ, რომ MA - kmn არის ბისექტრისა ჩვენი სამკუთხედის. ICA სამკუთხედის პირველი ნიშანი თანასწორობის სამკუთხედის MNA. კერძოდ, ჰიპოთეზა იმის გათვალისწინებით, რომ CM = NM, MA არის საერთო მხარეს, ∟1 = ∟2, რადგან MA - ეს ბისექტრისა. გამოყენება თანასწორობის ორი სამკუთხედი, შეიძლება ითქვას, რომ ∟K = ∟N. აქედან გამომდინარე, თეორემა.

მაგრამ ჩვენ გვაინტერესებს, რა არის თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის (ტოლფერდა). იმის გამო, რომ ამ კუთხით არ აქვს თვისებები, ჩვენ დაიწყება თეორემა განიხილეს ადრე. რომ არის, ჩვენ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ან 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (როგორც ∟K = ∟N). ეს არ ადასტურებს ქონება, როგორც თეორემა თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის დადასტურდა ადრე.

გარდა განიხილება თვისებები კუთხეში სამკუთხედის, ასევე არსებობს ისეთი მნიშვნელოვანი განცხადებები:

• in ტოლგვერდა სამკუთხედის სიმაღლე, რომელიც უკვე შეამცირა ბაზა, ერთდროულად მედიანა ბისექტრისა კუთხის რაც შორის თანაბარი მხარეები და ღერძი სიმეტრია მის ბაზაზე;
• საშუალო (ბისექტრისა, სიმაღლე), რომელიც ტარდება იმ მხარეს გეომეტრიული ფიგურა, თანაბარია.

ტოლგვერდა სამკუთხედის

იგი ასევე მოუწოდა, მარჯვენა არის სამკუთხედის, რომლებიც თანაბარი ყველა მხარეს. და, შესაბამისად, თანასწორი და კუთხეს. თითოეული მათგანი არის 60 გრადუსი. მოდით დავამტკიცოთ ეს ქონება.

დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს სამკუთხედის kmn. ჩვენ ვიცით, რომ KM = HM = ხ. ეს იმას ნიშნავს, რომ, შესაბამისად ქონება კუთხით მდებარეობს ბაზაზე in ტოლგვერდა სამკუთხედის ∟K = ∟M = ∟N. მას შემდეგ, რაც, შესაბამისად, თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის თეორემა ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, მაშინ x 3 = 180 ° ∟K ან ∟K = 60 ° ∟M = 60 ° ∟N = 60 °. ამდენად, იმის მტკიცება, დადასტურდა. როგორც ჩანს, აღნიშნული მტკიცებულება საფუძველზე ზემოთ თეორემა, თანხა კუთხეების of ტოლგვერდა სამკუთხედის, რადგან თანხა კუთხეების ნებისმიერი სხვა სამკუთხედის არის 180 გრადუსი. ერთხელ ადასტურებს ამ თეორემის საჭირო არ არის.

ჯერ კიდევ არსებობს გარკვეული თვისებები დამახასიათებელია ტოლგვერდა სამკუთხედის:

• საშუალო ბისექტრისა სიმაღლე გეომეტრიული ფიგურა იდენტურია, ხოლო მათი სიგრძე გამოითვლება (ა x √3): 2;
• თუ ეს პოლიგონის შეზღუდვის წრე, მაშინ რადიუსის ტოლი იქნება (ა x √3): 3;
• თუ იუნესკოს წრე ტოლგვერდა სამკუთხედის, მისი რადიუსი იქნება (ა x √3): 6;
• ფართობი გეომეტრიული ფიგურა გამოითვლება ფორმულით: (a2 x √3): 4.

oBTUSE სამკუთხედის

ზოგადად, obtuse დახრილი სამკუთხედი, მისი ერთ-ერთი კუთხეში არის შორის 90 დან 180 გრადუსამდე. მაგრამ თუ გავითვალისწინებთ იმ ფაქტს, რომ ორ კუთხეებს გეომეტრიული ფორმის მკვეთრი, შეიძლება ითქვას, რომ ისინი არ უნდა აღემატებოდეს 90 გრადუსს. ამიტომ, თანხა სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის თეორემა მუშაობს გამოთვლის თანხა კუთხეებს ამ obtuse სამკუთხედის. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ამბობენ, რომ, ზემოთ თეორემა, რომ თანხა obtuse სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი. ისევ და ისევ, ეს თეორემა არ უნდა ხელახლა მტკიცებულება.